Thực đơn
Bức_tranh_Heisenberg Chứng minh phương trình của HeisenbergCác giá trị kỳ vọng của 1 đại lượng quan sát A, mà là 1 toán tử tuyến tính Hermit cho 1 trạng thái | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } , được cho bởi
⟨ A ⟩ t = ⟨ ψ ( t ) | A | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .}trong Bức tranh Schrödinger, phát biểu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } tại thời điểm t liên quan đến phát biểu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } thời điểm 0
| ψ ( t ) ⟩ = U ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .}nếu Hamiltonian không thay đổi theo thời gian, thì các toán tử thời gian vận động được viết bởi
U ( t ) = e − i H t / ℏ , {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },}nơi H là Hamiltonian và ħ là hằng số Planck thu gọn. Do đó,
⟨ A ⟩ t = ⟨ ψ ( 0 ) | e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}xác định, sau đó,
A ( t ) := e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ . {\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}Nó xác định
d d t A ( t ) = i ℏ H e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ + i ℏ e i H t / ℏ A ⋅ ( − H ) e − i H t / ℏ {\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }} = i ℏ e i H t / ℏ ( H A − A H ) e − i H t / ℏ + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ {\displaystyle ={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }} = i ℏ ( H A ( t ) − A ( t ) H ) + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ . {\displaystyle ={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.}sự khác biệt dựa theo quy tắc nhân, trong đó ∂A/∂tlà đạo hàm thời gian ban đầu A, không phải A(t).
Do đó
d d t A ( t ) = i ℏ [ H , A ( t ) ] + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ , {\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}phương trình được chứng minh A(t) xác định ở trên
e B A e − B = A + [ B , A ] + 1 2 ! [ B , [ B , A ] ] + 1 3 ! [ B , [ B , [ B , A ] ] ] + ⋯ . {\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}hàm chứa
A ( t ) = A + i t ℏ [ H , A ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H , [ H , A ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H , [ H , [ H , A ] ] ] + … {\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }mối quan hệ này cũng được dùng cơ học cổ điển, theo giới hạn cổ điển ở trên
[ A , H ] ↔ i ℏ { A , H } {\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}Trong cơ học cổ điển, của A không phụ thuộc vào thời gian,
{ A , H } = d d t A , {\displaystyle \{A,H\}={d \over dt}A~,}biểu thức A(t) là khai triển Taylor tại t = 0.
Thực đơn
Bức_tranh_Heisenberg Chứng minh phương trình của HeisenbergLiên quan
Bức tường Berlin Bức Tường (ban nhạc) Bức tường Trump Bức thư Einstein–Szilárd Bức tường Đại Tây Dương Bức tường Tây Sahara Maroc Bức tường Than Khóc Bức tường John Lennon Bức tường Vĩ đại Sloan Bức thư những người đoạt giải Nobel ủng hộ Ukraina 2022Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Bức_tranh_Heisenberg http://www.quantumfieldtheory.info